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6 de noviembre de 2014

Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:


\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Elevamos al cuadrado a ambos lados:

x y \leq \left (\cfrac{x+y}{2} \right )^2

Desarrollamos la parte derecha:

x y \leq \cfrac{x^2+2xy+y^2}{4}

Multiplicamos por 4 a ambos lados:

4x y \leq x^2+2xy+y^2

Restamos 4xy a ambos lados:
0 \leq x^2-2xy+y^2

Y nos queda a la derecha el desarrollo de (x-y)^2:
0 \leq (x-y)^2

que al ser el cuadrado de un número es, evidentemente, mayor o igual que cero. Desigualdad demostrada.
Pero hay más formas de demostrar que esta desigualdad es cierta. Aquí os dejo una demostración visual de la misma, en la que m representa a la media aritmética de x e y y g a la media geométrica de esos números:


¿Está clara, verdad? Por si acaso no es así vamos a reconstruirla.

Dibujamos una semicircunferencia cuyo diámetro sea la suma de nuestro dos números, x+y. Tomamos el punto de la circunferencia (en la imagen en rojo) que está verticalmente encima del punto de separación entre los segmentos de longitudes x (en negro) e y (en azul) y dibujamos el triángulo que tiene como vértices a este punto y a los extremos del diámetro de la circunferencia:


Como dicho triángulo está inscrito en la semicircunferencia y uno de sus lados es un diámetro de la misma sabemos que en realidad se trata de un triángulo rectángulo (la demostración de este hecho la podéis encontrar al final de esta entrada). Dibujamos ahora el radio de la semicircunferencia que es perpendicular al diámetro ya dibujado (en verde) y el segmento que une el punto rojo con el que tenemos marcado en el diámetro (en rojo):


Al ser un radio de la semicircunferencia, tenemos que el segmento verde mide {x+y} \over 2 (la mitad del diámetro). Es decir, la longitud de ese segmento verde, que llamaremos m, es exactamente la media aritmética de x e y. Vamos a calcular ahora la longitud del segmento rojo.

Si llamamos g a dicho segmento rojo y a y b a los catetos del triángulo rectángulo, podemos considerar dicho triángulo dividido en otros dos triángulos rectángulos: el de lados agx y el de lados bgy:

Ahora, utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:
\begin{matrix} a^2+b^2=(x+y)^2 \\ x^2+g^2=a^2 \\ y^2+g^2=b^2 \end{matrix}

Sustituyendo las dos últimas en la primera y desarrollando el término de la derecha de esa primera igualdad obtenemos lo siguiente:
x^2+g^2+y^2+g^2=x^2+y^2+2xy

Simplificamos los términos que aparecen en ambos lados:
2g^2=2xy

Dividimos entre 2 y aplicamos raíz cuadrada a ambos lados, obteniendo:
g=\sqrt{xy}

o, lo que es lo mismo, la longitud del segmento rojo, g, es la media geométrica de x e
y.
Y como es evidente que el segmento rojo siempre tendrá menor o igual longitud que el segmento verde tenemos demostrada la desigualdad comentada inicialmente:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

¿Conocéis alguna otra demostración curiosa y/o interesante de este conocido resultado? Si es así podéis dejarla en los comentarios.

Vamos a demostrar lo siguiente:
Si inscribimos en una circunferencia un triángulo en el que uno de los lados es un diámetro de la misma, entonces dicho triángulo es rectángulo, y el diámetro es la hipotenusa del mismo.
Se sabe que un ángulo inscrito en una circunferencia mide exactamente la mitad del arco de circunferencia que abarca (podéis intentar demostrar esto, pero si no os sale tenéis una demostración aquí). Si tomamos el ángulo \alpha cuyos extremos están en los extremos de un diámetro de la circunferencia y el vértice en otro punto de la misma
tenemos que dicho ángulo \alpha abarca exactamente media circunferencia (en línea discontinua en la imagen):
Es decir, nuestro ángulo \alpha abarca un arco de 180^\circ. Por tanto, por lo dicho anteriormente sobre el ángulo inscrito, tenemos que \alpha=90^\circ y, en consecuencia, el triángulo correspondiente es rectángulo, siendo el diámetro la hipotenusa del mismo.
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