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4 de agosto de 2014

Diagramas de Leibniz, Euler, Venn y Luetich (el razonamiento diagramático)

El razonamiento diagramático (también llamado razonamiento gráfico o conceptografía) es el que se lleva adelante haciendo uso de representaciones visuales de los conceptos. En esta técnica, los diagramas y los gráficos son más importantes que las palabras y las expresiones matemáticas. A estos diagramas también se les conoce como diagramas ontológicos; en un lñenguaje más preciso los diagramas ontol+ogicos son aquellos diagramas que muestran entes ("elementos") y las definiciones que a ellos se les ha aplicado ("conjuntos").
El origen de esta forma de razonamiento debe buscarse en los grafos de Llul y Leibniz, las líneas de Leibniz y los diagramas de Euler. Sin embargo, una expresión equivalente a "razonamiento diagramático" —aunque aplicada específicamente a una notación de dos dimensiones— recién aparece en 1879 con la publicación del libro Begriffsschrift de Gottlob Frege, que ha sido traducido al castellano como Conceptografía. La historia del razonamiento diagramático incluye también la creación por parte de Peirce del sistema de gráficos existenciales, una notación geométrica-topológica-lógica que Gardner consideraba "el más ambicioso sistema de lógica geométrica que se haya construido jamás".

En síntesis podemos decir que el razonamiento diagramático tiene tres campos: a) los diagramas ontológicos, b) los diagramas topológicos y c) los grafos.

a) Diagramas ontológicos

Los diagramas ontológicos son los que muestran las definiciones de los conjuntos por enumeración. En ellos, además de la relación entre las definiciones, se ve a los elementos (entes). De ahí su nombre.1
Los diagramas de Leibniz son líneas abiertas que indican la posición relativa de los conjuntos.

diagrama de Leibniz
diagrama de Leibniz

Las regiones de superposición corresponden a las intersecciones.

Los diagramas de Euler son construcciones gráficas con líneas cerradas (circunferencias, elipses) que delimitan colecciones de elementos y muestran su posición relativa. (Leibniz también usó círculos, pero prefería las líneas abiertas porque encontró que los primeros requerían en ciertos casos símbolos complementarios.)

diagrama de Euler
diagrama de Euler

Cada región del diagrama contiene al menos un elemento. Los elementos pueden pertenecer a una sola colección o ser comunes a dos o más.

En los diagramas de Venn, todas las regiones posibles para una cantidad de definiciones dada aparecen representadas. Las regiones pueden estar vacías y en tal caso se las distingue sombreándolas.

diagrama de Venn
diagrama de Venn

Todos los conjuntos están incluidos en otro (el universo U, marco de referencia).

En los diagramas de Luetich se representa otra región, la del Todo, cuya interpretación se dio en el "Glosario de ontología". En el Todo excepto U se encuentran los elementos no definidos o no considerados, es decir, aquellos que están escondidos en la oscuridad. El todo no es un conjunto.

diagrama de Luetich
diagrama de Luetich (2D)

Los diagramas de Luetich sirven para resolver problemas como el que Humpty Dumpty le planteó a Alicia en la obra "A través del espejo" de Lewis Carroll.

Estos cuatro tipos de diagramas de conjuntos corresponden a la categoría "diagramas ontológicos".



1"Diagramas ontológicos: de Leibniz a Luetich", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.
2"Diagrama de Venn". Wikipedia, la enciclopedia libre.
3"Glosario de ontología", Actas Acad. Luventicus, Sup. 1, Vol. I, No. 2.
4"El no cumpleaños de Humpty Dumpty", Actas Acad. Luventicus, Editoriales.

b) Diagramas topológicos

Son los diagramas que muestran la posición relativa de los conjuntos, pero no los elementos. La forma, el tamaño y la posición de las líneas cerradas no tienen importancia.
Regiones posibles
En los diagramas de conjuntos de Euler y de Venn se pone énfasis en indicar las regiones posibles. En los diagramas de Euler, solamente son representadas las regiones en las que puede haber elementos. En los diagramas de Venn, a las regiones que no contienen elementos se las anula sombreándolas.

Diagrama de Euler topología Diagrama de Venn topologia
diagrama de Euler diagrama de Venn

En estos ejemplos se muestra que no hay elementos que pertenezcan a A y C que no sean también de B, ni tampoco elementos que pertenezcan exclusivamente a C. En el diagrama de Venn de conjuntos cada región sombreada es —para usar una expresión de Leibniz— una combinatio impossibilis. Se trata entonces de diagramas topológicos.28
Topología flexible
En un intento por flexibilizar la topología de los sistemas, Peirce introdujo en los diagramas de Venn la notación lógica correspondiente a la disyunción. Con ello creó los diagramas de topología flexible. A esta extensión de Peirce siguieron otras dos (Venn-I y Venn-II), propuestas por Shin.29
Extensión de Peirce
Charles Sanders Peirce (1839–1914), lógico americano considerado el padre de la semiótica moderna

La extensión de Peirce de los diagramas de Euler-Venn introduce tres símbolos:
  • "o" para reemplazar al sombreado,
  • "x" para indicar importación existencial, y
  • "–" (línea) para unir los dos anteriores e indicar disyunción.29
Así, por ejemplo, el siguiente diagrama representa la proposición: «Todo elemento de B es de A o algunos elementos de B son de A».
Extensión de Peirce
extensión de Peirce

Esta proposición topológica no se podría representar con un diagrama de Euler: sería necesario usar dos y buscar alguna manera de indicar la disyunción.
Extensión de Peirce - Diagrama de Euler 1 Extension de Peirce - Diagrama de Euler
«Todo elemento de B es de A» «Algunos elementos de B son de A»
Las ventajas de la notación de Peirce, en este caso, son grandes. Sin embargo, cuando las proposiciones son más complejas, la lectura del diagrama se torna dificultosa.29
Primera extensión de Shin (Venn-I)
Esta extensión tiene las siguientes características:
  • vuelve al sombreado de regiones para indicar que éstas no pueden ser ocupadas,
  • usa el símbolo "x" de Peirce, y
  • usa el símbolo "–", introducido por Peirce.
Extensión de Shin Extensión de Shin - Peirce
diagrama de Shin (Venn-I) diagrama de Peirce

En estos diagramas (equivalentes), las dos premisas son:
  • «Ningún elemento es sólo de B», y
  • «B tiene algún elemento».
La conclusión, por lo tanto, es: «Algún elemento pertenece simultáneamente a B y A».
Segunda extensión de Shin (Venn-II)
Esta extensión tiene las mismas características que el anterior, pero agrega la posibilidad de conectar dos diagramas —que en este caso tienen representado el conjunto universal— con una línea de disyunción.

Extension de Shin - Venn II Extension de Shin - Venn II - Peirce
diagrama de Shin (Venn-II) diagrama de Peirce

La proposición, en este caso, es: «O todo elemento de A es elemento de B y algún elemento de A es de B, o ningún elemento de A es de B y algún elemento de B no es de A». El diagrama simple de Peirce es de lectura más difícil que el correspondiente diagrama doble de Shin.
 
Arañas
 Los diagramas con arañas son una extensión de los diagramas de Euler, y por lo tanto en ellos hay información topológica. Se los obtiene introduciendo restricciones de dos tipos: agregando "arañas" (secuencias x de Peirce generalizadas) y sombreando regiones. La presencia de una araña indica la existencia de un elemento en su "hábitat" (la región donde se encuentra). Una región sombreada es la que no contiene más elementos que los que indican las arañas correspondientes. Si una región sombreada no tiene arañas, está vacía. Dos arañas unidas por una línea indican la existencia de por lo menos un elemento en las regiones involucradas. El nombre "araña" se ha elegido porque en diagramas complejos muchas líneas pueden salir de cada punto, como los hilos de un nodo de una telaraña.

Diagrama araña
diagrama con arañas

El diagrama de la figura indica que:
  • C está contenido en B;
  • AB tiene exactamente dos elementos;
  • hay al menos un elemento en BA.
El diagrama tiene 3 líneas limite de conjuntos (definiciones), indicadas con los rótulos A, B y C, y 6 regiones, por ejemplo la región cuyo contorno es B pero que no contiene elementos ni de A ni de C. Una zonas está sombreada y contiene sólo 2 elementos. El diagrama contiene 3 arañas: 2 de un pie cuyo hábitat es la zona de los elementos de A que no pertenecen a B y 1 "articulada", en la región de los elementos que son de B pero no de A.
 
c) Los grafos 
 
Los grafos son construcciones que surgen de representar elementos y sus conexiones.32 La teoría de grafos, como la teoría de conjuntos, está íntimamente ligada a la topología.33 34

Cuadrado de oposición

Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.), filósofo griego fundador de la lógica clásica

Aristóteles, al fundar la lógica, puso su atención en algunos cuantificadores usados en el lenguaje natural: todo, algún, ningún, no todo. Éstos pueden ser expresados usando la notación de Peirce de predicados (gráficos existenciales "beta"). El clásico "cuadrado de oposición de juicios" de Aristóteles quedaría entonces representado como se muestra en la figura.

El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce
El "cuadrado de oposición" de Aristóteles en la notación de Peirce

Diamante de Leibniz

Una muestra de razonamiento diagramático: grabado del libro de Leibniz De Arte Combinatoria de 1666

En el grabado de la portada del libro De Arte Combinatoria de 1666, Leibniz habría dado otra muestra de su lenguaje universal. En él se representa la idea de los antiguos de que todas las cosas materiales están hechas de tierra, agua, aire y fuego, "elementos" que combinan las cualidades de: frío, húmedo, caliente y seco. Entre elementos, entre cualidades, y entre elementos y cualidades, han sido dibujadas líneas, cada una con un rótulo. Así, por ejemplo, a los nodos SICCITAS y HVMIDITAS ("sequedad" y "humedad") se los ha conectado con una línea rotulada Combinatio impossibilis ("combinación imposible"). En otros términos, de los elementos de estos dos conjuntos, el grabado muestra las conexiones, objeto de estudio de la topología. La characteristica es, en este caso, una notación topológica.37 El siguiente grafo es una variante del Diamante de Leibniz, que muestra la relación entre elementos y cualidades a la manera de un grafo bipartido.

ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus)

Cuando dos cualidades concurren en un elemento es porque su combinación es posible. Por ejemplo, CALIDITAS y HVMIDITAS concurren en AER. Cuando dos cualidades no se encuentran en ningún elemento, su combinación es imposible. Tal es el caso de HVMIDITAS y SICCITAS. Con estos elementos y cualidades, sujetas a las restricciones mencionadas, se puede deducir la cantidad de combinaciones posibles.

El diamante de Leibniz puede ser representado sin recurrir a un grafo partido, simplemente usando cuatro conjuntos. En este caso, a menos que a los conjuntos se los dibuje como rectángulos, quedarían regiones vacías. Para indicar esa situación se puede hacer uso de un diagrama con arañas.

ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus) 2 ignis - aer - aqua - terra (Leibniz, Germán Schultze - Luventicus) 3
diagrama de conjuntos diagrama con arañas

Estas representaciones actuales del tema que Leibniz tomó de los antiguos para ilustrar su libro de análisis combinatorio muestran lo que ha sido la historia del razonamiento diagramático, un área de trabajo en la que se ha vuelto siempre sobre los mismos complejos problemas, desde la perspectiva de especialistas en las materias más diversas.37

Árboles

Los árboles son unos grafos especiales con estructura jerárquica, que pueden ser usados para dar la misma información topológica que los diagramas de Euler y de Venn.

Árbol del diagrama de Euler Diagrama de Euler del árbol
árbol del diagrama de Euler diagrama de Euler
Árbol del diagrama de Venn Diagrama de Venn del árbol
árbol del diagrama de Venn diagrama de Venn

Cada árbol muestra las regiones posibles del diagrama que está a su derecha. Las primeras 2 ramas corresponden al conjunto A; las restantes 4, al conjunto B. En el diagrama de Euler, la rama de no pertenencia (∉) a A aparece de color gris, ya que no es una región posible. En consecuencia, también están de ese color las ramas derivadas. En el diagrama de Venn, dado que se define un conjunto universal, la no pertenencia a A es posible, exceptuando el caso de pertenencia (∈) simultánea a B.31

Notación bidimensional

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848–1925), matemático alemán considerado por muchos el fundador de la lógica moderna

La notación bidimensional de Frege permite representar las operaciones lógicas con conexiones.39
notación bidimensional de Frege
notación bidimensional de Frege

Este esquema representa la disyunción lógica AB, o mejor, ¬AB.40
En su trabajo sobre los axiomas del cálculo proposicional, Frege recurría sólo a las operaciones negación e implicación.

Obsérvese que la notación de los diagramas "beta" de Peirce —con recortes abreviados o no— también es bidimensional, como se puede ver claramente en la lista de reglas de inferencia.
 
 
Fuentes:
 
 

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