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30 de mayo de 2014

Matemáticas: Dame un papel y te llevaré a la luna… (solución y más)

Como ya ha habido una persona que ha sido rápida en contestar a este acertijo o problema, voy a dar la solución y ampliarla un poco más.
Recordamos primero cuál era la pregunta que se hacía:
Imagina que tienes un papel lo suficientemente grande.

¿Cuántas dobleces tendrías que hacerle para llegar a la luna suponiendo que dicho papel tiene un espesor de una décima de milímetro (0,1 mm)?
 
Ten en cuenta que la distancia de la tierra a la luna es, aproximádamente, 384.400 km.

SOLUCIÓN


Si coges una hoja de papel, la doblas por la mitad, vuelves a doblarla por la mitad, la doblas otra vez por la mitad, y otra vez, y otra… cada vez te cuesta más ¿verdad?, es que cuando vas doblando tienes más capas que doblar, la primer doblez hace que tengas dos capas, la segunda el doble, es decir 4, la tercera otra vez el doble que son ahora 8, y así sucesivamente.


Por tanto, si un papel tiene un grosor de 0.1 mm, al doblarlo la primera vez tendrá el doble de grosor:

2 x 0,1 mm = 0,2 mm


Al doblarlo una segunda vez, el grosor será el doble que el anterior:


2 x 2 x 0,1 mm = 2 x 0,2 mm = 0,4 mm


Si lo doblamos una tercera vez, ahora el grosor será:


2 x 2 x 2 x 0,1 mm = 2 x 0,4 mm = 0,8 mm


Y así sucesivamente…

 Si doblamos el papel n veces, el grosor que tendremos será:



Por otro lado, el grosor al que nosotros queremos llegar realizando dobleces es la distancia que hay de la Tierra a la Luna, es decir, 384.400 km. Si lo expresamos en milímetros, serían:



En definitiva, nuestro problema se reduce a resolver la siguiente igualdad, donde la incógnita es n (el número de dobleces):
luna 1
multiplicando por 10 a los dos lados de la igualdad, tenemos:
luna 2
aplicando logaritmos en ambos lados de la expresión:
luna 3

o, lo que es lo mismo:
luna 4

Para calcular este logaritmo en base 2 hacemos un cambio de base a base decimal (base 10):
luna 5

Por tanto, respondiendo a la pregunta inicial que se nos hacía, con 42 dobleces superaríamos incluso la distancia que hay de la Tierra a la Luna.
¿Sorprendente?

Pues esto no es todo…
con 52 dobleces, alcanzaríamos los ciento cincuenta millones de kilómetros que nos separan del Sol.


después de haberlo doblado 58 veces, el espesor del papel será superior al ancho del sistema solar (que es aproximadamente doce mil millones de kilómetros)
y con 70 dobleces llegaría más allá de Alfa Centauro, que es la estrella más cercana a la Tierra y que se encuentra a 4 años luz (un año luz, la distancia que la luz recorre en un año, equivale a diez millo­nes de millones de kilómetros).
Con 86 dobleces el papel sería más ancho que nuestra galaxia y con 90 dobleces alcanzaría Andrómeda, la galaxia más cer­cana a la Tierra y que se encuentra a dos millones de años luz.
Con 100 dobleces, se encontraría a mitad de camino de los objetos más lejanos observados en el universo, a diez mil millones de años luz,


y con 101 más, sería más ancho que todo el universo conocido.
 
Estos sorprendentes resultados se deben al rápido crecimiento de las progresiones geométricas (1, 2, 4, 8, 16, 32, etc.), que aumentan a una velocidad extraordinaria y anti intuitiva.

El único problema de todo esto es que nadie ha conseguido doblar una hoja de papel ni 15 veces, por muy grande que fuera la hoja. El record está en 12 veces.
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