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12 de abril de 2014

¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?

Con esta pregunta empecé una clase de inglés para profesores que organiza mi universidad y en la que cada alumno debe exponer un tema cada día. Mis compañeros de clase, un físico, un ingeniero de telecomunicaciones y una ingeniero de minas, me dieron como primera respuesta la de que es imposible. Pero sabedores de que los matemáticos somos los “magos de la ciencia”, pensaron que habría algún truco y me bombardearon con cuestiones como las siguientes:
  • ¿Qué anchura tiene la barra? Ninguna –respondí- es una barra matemática, ideal.
  • ¿Se puede doblar? Tampoco. Es una barra firme, un segmento.
Se centraron en saber qué se entiende por barra. En saber qué definición manejaba yo de barra, pero no pusieron en duda el concepto de cubo. Y ahí es donde está el truco.


Un cubo en dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y,z) están todas entre 0 y 1. Dicho con lenguaje cartesiano, un cubo es el producto del segmento unidad en cada uno de los tres ejes. Un cubo en dimensión dos se llama cuadrado. Un cubo en dimensión uno es el segmento unidad. Un cubo en el espacio de dimensión n se define de la misma manera y es lo que a veces se denomina hipercubo, para indicar que estamos en dimensión mayor que tres. (El cubo en dimensión infinita es el cubo de Hilbert, pero eso ya es otra historia).

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado? Si la arista mide uno la diagonal mide \sqrt{2}, como nos enseñó Pitágoras. ¿Y la del cubo? Basta tomar el triángulo rectángulo determinado por una diagonal de una de sus caras cuadradas y una de las aristas perpendicular a dicha cara, y volver a aplicar el Teorema de Pitágoras: \sqrt{2+1}= \sqrt{3}.


Repitiendo el argumento cada vez que aumentamos la dimensión resulta que el cubo del espacio de dimensión n tiene una diagonal que mide $latex\sqrt{n}$. Así que para contestar la pregunta inicial basta que la dimensión en que estemos sea suficientemente grande: en el cubo del espacio de dimensión 10^10, la diagonal del cubo de 1 cm de arista mide 10^5cm =1km.

(Quien quiera leer algo más sobre el conflicto mental que supuso la incomnesurabilidad de lado y diagonal del cuadrado, que lea La raíz de la muerte de Hipaso.)

Este ejemplo de los cubos nos enseña que las dimensiones superiores son difíciles de imaginar. Si tenemos el cubo de arista 1 cm en el espacio \mathbb{R}^n, resultan los siguientes valores:

\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline \mbox{Dimension} & \mbox{Volumen} & \mbox{Volumen lateral} & \mbox{Longitud de la diagonal (diametro)} \\  \hline 1 & 1 \, cm & 0 & 1 \, cm \\ \hline 2 & 1 \, cm^2 & 4 \, cm & \sqrt{2} \, cm \\ \hline 3 & 1 \, cm^3 & 6 \, cm^2 & \sqrt{3} \, cm \\ \hline 4 & 1 \, cm^4 & 8 \, cm^3 & \sqrt{4} \, cm \\ \hline n & 1 \, cm^n & 2n \, cm^{n-1} & \sqrt{n} \, cm \\ \hline \end{array}

El diámetro del cubo (esto es, la mayor distancia entre dos puntos del cubo) va creciendo mientras que el volumen del cubo permanece constante. Todo lo contrario que lo que ocurría con las esferas, como se vio en la entrada ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión n?. Para las esferas de cualquier dimensión y radio uno el diámetro es constante (vale dos) mientras que el volumen decrece cuando aumenta la dimensión.

¿Cómo podemos ver el cubo de dimensión cuatro?

Pensemos en una dimensión menos. ¿Cómo vemos el cubo ordinario en el plano? De dos maneras esencialmente: desarrollándolo y dibujándolo en perspectiva. Desarrollarlo es dibujar en el plano los seis cuadrados, que luego se unen entre sí, gracias a que existe la tercera dimensión. En el dibujo de la derecha vemos una perspectiva del cubo como se ve al mirarlo a través de una de sus caras.


Las seis caras del cubo de la derecha son el cuadrado de dentro, el de fuera, y los cuatro cuadrados (que se ven en perspectiva como trapecios), que tienen una arista en común con el cuadrado de dentro y otra con el de fuera. Una y otra imagen del cubo están relacionadas: si partimos de la vista en perspectiva y queremos hacer el desarrollo, basta considerar que el cuadrado de dentro tiene pegado un cuadrado en cada uno de sus lados, y que el de fuera lo podemos poner como pegado a uno de ellos. Así tenemos el desarrollo plano de la figura izquierda.

Del mismo modo se puede realizar con el hipercubo. En el “Christus hypercubus” de Dalí


la cruz está formada por ocho cubos, que forman el desarrollo en el espacio tridimensional del hipercubo. Pegándolos entre sí, gracias a la cuarta dimensión, se forma el hipercubo, como en la imagen inferior tomada de aquí


La vista en perspectiva similar a la que antes hemos dado del cubo:


El Monumento a la Constitución de Madrid o la “Grande Arche de la Défense” de París, que aparece en la siguiente imagen


son ejemplos de hipercubos vistos en esta perspectiva. Las ocho caras tridimensionales del hipercubo son el cubo de dentro, el de fuera y los seis cubos (que se ven en perspectiva como pirámides truncadas) que comparten con el cubo de dentro una cara bidimensional y otra con el de fuera. Es lo análogo a lo que ocurre en la representación plana de un cubo tridimensional, donde los trapecios que aparecen son triángulos truncados de vértice en el centro de la figura.

Se pasa de la imagen en perspectiva del hipercubo a su desarrollo como la cruz de Dalí del mismo modo como hicimos en el caso del cubo tridimensional: partiendo de la perspectiva del hipercubo, tomamos el cubo central, que tiene seis cubos adosados, uno en cada una de sus caras, y el cubo de fuera lo pegamos a uno de ellos.

Pero fíjate, lector, que aún hemos dado un salto más: el arco de París está construido en tres dimensiones, pero la foto que hemos puesto es una imagen plana. Así que de golpe hemos bajado dos dimensiones, del hipercubo de cuatro a su imagen plana de dos.

Moraleja: si las esferas y los cubos de \mathbb{R}^n son tan sorprendentes creo que los profesores deberíamos señalarlo y no dejar que los estudiantes se confíen en que lo que pasa en dimensión dos o tres se generaliza sin dificultad a cualquier dimensión. Más aún, creo que los profesores deberíamos conocer esto, cosa de la que no estoy muy seguro que ocurra. Y sería bueno que estudiantes y profesores hubieran leído la novela de Edwin Abbot “Planilandia”, escrita en 1884, que enseña a pensar en otras dimensiones. La historia se desarrolla en un mundo plano, y todo lo que tenga que ver con la “tercera dimensión” es para ellos extraño y misterioso.

Referencia: Fernando Etayo: “La Geometría de las Esferas” Un paseo por la geometría. Pub. Dept. Matemáticas, UPV-EHU, 65-80, (2004). Accesible en internet en este enlace.

Fuente:

Gaussianos

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