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9 de marzo de 2014

¿Por qué no existen los logaritmos de números negativos?

Los logaritmos son funciones matemáticas creadas por John Napier en el siglo XVII, y que son muy útiles tanto en investigación matemática como en otras ciencias.

Dado un número real x, un logaritmo de x es una función matemática cuyo resultado es el valor al que hay que elevar una cierta base para obtener ese x.

Los logaritmos tienen la siguiente estructura:log1
donde log es logaritmo, b es la base, x el valor al que aplicamos el logaritmo y n el resultado. Para que un logaritmo sea válido, por definición debe de cumplirse que su base, b en nuestro caso, tiene que ser siempre positiva y distinta de 1.

A mí personalmente, el logaritmo es una función que me gusta mucho, puesto que cada vez que realizamos uno, en cierto modo, estamos haciendo una pequeña ecuación que tiene la siguiente estructura:

log2
Los logaritmos tienen muchas propiedades, pero hay una que es la protagonista de este post:

No existen los logaritmos de números negativos ni del 0. Pero, ¿por qué?

logaritmo

Si nos fijamos en su definición, vemos que la base tiene que ser siempre un número mayor estrictamente de 0. Entonces, nos podemos preguntar, ¿existe algún exponente de una potencia con base positiva que al realizar la operación dé como resultado un valor negativo?

La respuesta es no, ese valor no existe. En una potencia, si la base es positiva, al elevarla a cualquier número el resultado es positivo porque hay tres opciones:
  • Si el exponente es positivo, un número positivo elevado a otro positivo es trivialmente positivo.
  • Si el exponente es negativo, es equivalente a hacer la operación como 1 partido de la potencia pero con exponente positivo, que es una división de números positivos y por tanto, positivo.
  • Y por último, que el exponente sea 0, que como vimos en el blog hace tiempo, un número elevado a 0 siempre vale 1.
Por lo tanto, discutidos todos los casos, vemos que una base positiva al elevarla a un exponente cualquiera siempre resulta un valor positivo. Entonces, eso implica que no se pueden realizar logaritmos de números negativos porque no existen.

Ejemplos del uso de logaritmos en la vida diaria son la Escala de Richter (para medir la intensidad de terremotos) que es una escala logarítmica; para equilibrar reacciones químicas; o para medir el tamaño de una estrella lejana. Pero como hemos dicho, son solo algunos ejemplos, y sus aplicaciones son múltiples.

Todo lo que hemos visto tiene sentido en el campo de los números reales. Como curiosidad, es interesante saber que en los números complejos sí existen los logaritmos de números negativos, pero ese concepto merecerá un artículo otro día.

Fuente:

Matemàticas Digitales

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