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9 de marzo de 2014

La Paradoja del Barbero de Russell

En este blog ya hemos hablado en otras ocasiones sobre paradojas, concretamente las de “Banach-Tarsky” y “Aquiles y la tortuga”. Recordemos que una paradoja es un razonamiento que aparentemente parece correcto, pero que contradice una verdad evidente (o a veces no tan evidente).

La Paradoja del Barbero fue formulada por Bertrand Russell en el año 1901, de ahí que también sea conocida como Paradoja de Russell, aunque personalmente no me gusta este nombre porque Russell era un excelente lógico matemático y enunció muchas de ellas.

PosteBarberia

Veamos la historia que da origen a la contradicción:
Hace muchos años, en un lejano reino, había pocas personas que su oficio fuera ser barbero. Para solucionar el problema, el rey dictaminó que los barberos solo podían afeitar a las personas que no podían afeitarse por sí mismas.
Uno de esos barberos, era el único en su comarca y le entró la siguiente duda: “Como barbero no puedo afeitar al barbero de mi comarca, que soy yo, porque entonces podría afeitarme a mí mismo. Pero entonces, algún barbero debe de afeitarme, pero como soy el único que hay, entonces no me puedo afeitar”.
¿Qué puede hacer nuestro pobre barbero para hacer desaparecer sus barbas? La verdad que está en una situación realmente complicada. Tan complicada, que es una paradoja y no tiene solución.

Para ver qué pasa lo primero que hacemos es definir qué es un conjunto. Podemos imaginarnos que un conjunto es un cajón muy grande donde metemos cosas. Por ejemplo, el conjunto de las frutas sería un cajón en el que metemos todas las manzanas, todas las naranjas, todas las peras…

Un subconjunto, sería tomar un conjunto más pequeño dentro de nuestro conjunto. Por ejemplo, en nuestro cajón gigante, poner dentro una caja en la que metemos la fruta roja. Ahí pondríamos las manzanas, las cerezas,…

Por último, los elementos serían por separado cada uno de los objetos o números que hay en un conjunto. En nuestro ejemplo sería una manzana o una naranja concretas.

Vamos a ver un ejemplo más numérico. Tomamos un conjunto X compuesto por los números naturales: X={1,2,3,4,5,…}. Un subconjunto M serían por ejemplo los números pares: M={2,4,6,…}. Y algunos elementos del conjunto M (que también lo serían de X) son por ejemplo el 4, el 6 ó el 48, por citar algunos.
Pues una vez entendido esto, existen dos tipos de conjuntos: los normales y los singulares.

Los conjuntos normales son aquellos que no se contienen a sí mismos. En cambio, los singulares son aquellos que sí se contienen a sí mismo.

¿Cómo se contiene un conjunto a sí mismo? Supongamos que creamos el conjunto de todo lo que no es un lápiz. Como mi conjunto NO es un lápiz, entonces está dentro del propio conjunto.
Además, estas propiedades son excluyentes. Un conjunto es o normal o singular. Ni hay otra opción, ni pueden ser los dos a la vez.

¿Y qué tiene que ver todo esto con nuestro amigo el barbero? Pues que él está en una posición difícil. Si pertenece al conjunto de los que no se pueden afeitar, él razona que sí se podría afeitar. Y si pertenece al conjunto de los que sí se pueden afeitar, entonces razona que no se podría afeitar. Por lo tanto, el conjunto al que pertenece el barbero es un conjunto normal y singular a la vez, que hemos visto que es imposible.

Esta paradoja hizo temblar a toda la comunidad matemática, puesto que la base más elemental de las matemáticas nace a raíz de la teoría de conjuntos. El problema se solucionó excluyendo los conjuntos singulares, algo un poco trampa en mi opinión, pero que de momento funciona.

Fuente:

Matemàticas Digitales

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