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17 de diciembre de 2013

El logaritmo neperiano no usaba la base e

Si no recuerdas lo que es un logaritmo, aquí podrás recordarlo, saber para qué se inventaron y conocer su historia. Si ya sabes lo que es, podrás descubrir que la definición original de logaritmo neperiano no usaba la base e. Y que después la definición se simplificó y pasó a usar la base 10. Y que en realidad la base e sólo estaba escondida en una de las tablas de un apéndice a una traducción del original... y que no parece que esa tabla la escribiera Neper. Después de todo, a lo mejor empiezas a llamarlo logaritmo natural.


Puede que no haga falta recordarte lo que es un logaritmo, pero quizá no te acuerdes y te apetezca recordarlo. Veamos un ejemplo: ¿Qué exponente tienes que ponerle a la base 10 para obtener como resultado 1000? La respuesta es 3, porque 103=1000.

Por eso se dice que el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, y se escribe


log101000=3.

Cuando usas la base 10, como en este ejemplo, estás trabajando con el logaritmo decimal. Pero tu base puede ser cualquier otro número.

Por ejemplo, también es muy habitual usar como base el número e, porque los logaritmos con esta base tienen propiedades útiles cuando se trabaja con límites, derivadas, integrales y series. Al logaritmo en base e se le suele llamar logaritmo natural o logaritmo neperiano... aunque quizá este último nombre no sea tan apropiado.

Lo de "neperiano" viene de John Napier (o Neper), un matemático escocés que vivió entre 1550 y 1617 y está considerado el inventor de los logaritmos (puede que el relojero suizo Joost Bürgi lo hiciera antes, pero no lo publicó).

Retrato de John Napier

Retrato de John Napier

Por aquel entonces (sin calculadoras ni ordenadores) multiplicar números grandes requería bastante esfuerzo, así que los científicos (sobre todo los astrónomos) suspiraban por una herramienta que permitiera hacer esas operaciones más rápidamente... Y eso es precisamente lo que hacen los logaritmos, que tienen el "superpoder" de convertir un producto en una suma

log(xy)=log(x)+log(y)

y esto facilita mucho las cosas; si te dan a elegir entre hacer una suma o una multiplicación, seguro que eliges la suma.

En realidad el bueno de Napier no definió su logaritmo usando bases y exponentes, como en nuestros ejemplos (esa notación se hizo estándar años más tarde). Su definición usaba dos partículas moviéndose por líneas paralelas para relacionar una progresión aritmética con una progresión geométrica. De ahí viene el nombre de logaritmo, por logos (proporción) y arithmos (números), que acuñó al publicar sus trabajos en 1614.

Portada del trabajo original de John Napier de 1614

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio

En notación moderna, usando bases y exponentes como en nuestros ejemplos, el logaritmo definido por Napier sería

log11107(x107)

Por un lado, al tener x dividido entre 107 no tenía el "superpoder" de convertir productos en sumas (aunque para conseguirlo sólo le hacía falta un poco de ayuda).

Por otro lado, la base de este logaritmo original de Napier era 11107=0.9999999 ¡¡y no el número e2.718281828!!

El primer problema se resolvió un año más tarde, cuando el matemático británico Henry Briggs convenció a Napier para modificar sus logaritmos y usar lo que ahora sería log10(x). Pero este nuevo logaritmo tampoco usaba la base e...

La historia sigue; como la mayoría de los trabajos científicos de la época, Napier había publicado sus resultados en latín. Fue otro británico, el matemático y cartógrafo Edward Wright, quien se encargó después de traducirlo al inglés. De esta traducción se publicaron dos ediciones, una en 1616 y otra en 1618.

Portada de A Description of the Admirable Table of Logarithmes

A Description of the Admirable Table of Logarithmes (edición de 1618

Si algunas palabras o números no se distinguen con claridad puedes acceder a loa versión original AQUÍ.

Hasta la introducción de los logaritmos, para multiplicar números rápidamente se usaba un método llamado prostaféresis, que se basaba en el uso de funciones trigonométricas.

Si quieres saber más sobre la historia de los logaritmos, puedes leer Logarithms: The Early History of a Familiar Function, también en la página de la Mathematical Association of America.

Si prefieres algo en español, puedes consultar Historia de los logaritmos, de Xavier Lefort.

Si lo que quieres es bucear en los trabajos de Napier, puedes encontrarlos en la página johnnapier.com o leer el artículo Remembering John Napier and His Logarithms, de Michael A. Lexa.

Si te interesa la historia de los logaritmos, pero también la del resto de las matemáticas, puedes consultar el libro A History of Mathematics, de Uta C. Merzbach y Carl B. Boyer.

También puedes aprender con la reseña del film Logaritmo neperiano: una probabilidad entre un millón en la sección "Cine y matemáticas" que Alfonso Población escribe en Divulgamat.
Fuente:

Cifras y Teclas

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