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2 de octubre de 2013

Algebra de Boole: Matemáticas del siglo XIX sin las que no funcionaría internet


Estamos inmersos en plena era digital, donde los aparatos electrónicos que funcionan, básicamente, a base de recoger ceros y unos, y tratarlos de forma lógica, haciendo cosas que hasta ahora solo eran posibles en los libros de ciencia ficción. Pero como para casi todo en ciencia, hay una base matemática: El álgebra de Boole.
Historia

George Boole, (2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864), fué  primer profesor de matemáticas del entonces Queen's College, Cork en Irlanda (en la actualidad la Universidad de Cork , en la biblioteca, lectura de metro complejo teatral y el Centro de Boole para la Investigación en Informática se nombran en su honor) en 1849. Pero fué antes, en 1847 cuando escribió un pequeño folleto llamado "The Mathematical Analysis of Logic" , que completo con otro libro " The Laws of Thought" publicado en 1854.
Pero esto quedó en poco más que una curiosidad matemática, hasta 1948, cuando Claude Shannon la utilizó para diseñar circuitos de conmutación eléctrica biestables, aunque ya el propio Alan Touring había utilizado este mismo álgebra de forma teórica, en su diseño de la máquina de Turing (1936). Y con ello, comenzó la era de la computación digital.

Bases

Basada en la teoría de conjuntos (Teoría de Conjuntos - Matemática Aplicada a la Ingeniería), el álgebra de Boole sirve para manejar operaciones lógicas en sistemas de numeración binarios, es decir, basados en ceros y unos. De esta manera se nos permite realizar operaciones matemáticas, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones u operaciones lógicas, como "no algo" ó "esto y lo otro", o "si y solamente si...", tal y como esperaríamos en cualquier sistema de lógica aristotélica. Esto nos permite utilizar tablas de decisión y diagrámas de flujo de datos en los circuitos lógicos.
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
  • Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
  • Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
  • Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
  • Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.

  • Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
  • Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:
  • - Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
  • - El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
  • - El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
  • - El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
  • - Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
  • Utilizaremos además los siguientes postulados:
  • P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
  • P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
  • P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.
  • P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
  • P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
  • P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
(Fuente - http://www.monografias.com/trabajos14/algebra-booleana/algebra-booleana.shtml)

Porqué el álgebra de Boole

Obviamente, la respuesta es bastante sencilla. Todas las máquinas digitales funcionan con electricidad, a partir de diferencias de voltaje. Así que a cierto rango de voltaje le asignamos un cero y a otro le asignamos un uno (ceros y unos). De esta manera, gracias al álgebra de boole, podemos operar con estas diferencias de voltaje.
 


Tomado de:

Enamorado de la Ciencia

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