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18 de marzo de 2013

¿Qué sombra proyecta un avión a gran altitud?

Antes de ayer, Kent Mentolado hizo una pregunta muy interesante en el foro (aquí tienes el hilo). De hecho, me ha parecido tan interesante y curioso que merece la pena compartirlo con todo el mundo y dedicarle un artículo. La pregunta es: ¿qué le sucede a la sombra de un avión según asciende en el aire? ¿se sigue viendo cuando vuela a gran altitud, o no? ¿aumenta de tamaño, se queda igual o se hace más pequeña?
Sombra de avión

Contestar a esas preguntas es placentero, entre otras cosas, porque nos llevará a hablar de la umbra y la penumbra, realizar un par de estimaciones trigonométricas curiosas, entre ellas cómo calcular el tamaño angular de un objeto (¿quién ha dicho que la trigonometría es aburrida?) y de paso mostraros un par de fotografías realmente preciosas de un fenómeno óptico relacionado con esto, que se ve con relativa frecuencia desde los aviones. ¿Preparado? Vamos con ello.

Antes de empezar, el aviso de rigor — voy a realizar aproximaciones groseras, porque no me interesa obtener resultados numéricos estrictos, sino una estimación. Así que, cuando dé valores a la distancia Tierra-Sol o el tamaño de un avión, no te eches las manos a la cabeza si redondeo como si me dieran dinero por ello.

Para responder a la pregunta, antes tenemos que tener claros un par de conceptos. El primero de ellos es la diferencia entre umbra (sombra) y penumbra (“casi sombra” en latín). Dicho mal y pronto, cuando un objeto tapa una fuente de luz completamente desde donde estás mirando, te encuentras en su sombra. Cuando el objeto tapa sólo parte de la fuente luminosa, estás en su penumbra.

Esto significa, por supuesto, que si se trata de una fuente de luz puntual, sólo pueden existir sombras: o bien el objeto tapa la fuente luminosa o no lo hace. Sin embargo, si la fuente de luz tiene extensión, hay una zona de sombra y otra de penumbra (la antumbra es simplemente la región en la que un observador vería un eclipse anular):

Umbra y penumbra

Umbra, penumbra y antiumbra de la Tierra.

Aunque no sean perfectamente puntuales, las estrellas son fuentes de luz que se comportan prácticamente como si lo fueran: su distancia a nosotros es tan gigantesca comparada con su tamaño que su tamaño angular es minúsculo. Sin embargo, nuestro Sol no está tan lejos de nosotros, y tiene un tamaño angular perfectamente apreciable. Utilizando un poco de trigonometría básica podemos calcular este ángulo. El Sol tiene un diámetro de unos 1.4 millones de kilómetros, y está a unos 150 millones de kilómetros de la Tierra, de modo que su tamaño angular δ es:

Tamaño angular Sol

Puedes ver cómo hay un triángulo rectángulo (cada una de las dos mitades del triángulo completo) en el que el ángulo desde la Tierra es justo δ/2, el cateto opuesto al ángulo es d/2 y el cateto contiguo es justo la distancia Tierra-Sol, D, con lo que se puede calcular la tangente de δ como el cociente entre cateto opuesto y cateto contiguo (la fórmula está en el triste dibujo).

De modo que, despejando δ,

δ = 2·arctan(d/2D)

Si introduces los datos en la calculadora verás que el tamaño angular del Sol es de unos 0,53°, es decir, 32′. No es una fuente puntual, aunque sea pequeña (hacen falta unos 670 Soles colocados uno al lado del otro para “llenar” una circunferencia de 360°). De modo que, aunque los rayos de una fuente puntual muy alejada son aproximadamente paralelos, esta aproximación no siempre funciona bien en el caso del Sol. Especialmente, por supuesto, cuando una parte del Sol está tapada y otra no, algo que sería totalmente imposible en el caso de una fuente puntual.

Naturalmente, si un objeto relativamente grande está muy cerca del suelo (por ejemplo, una sombrilla), entonces tapa el Sol completamente y debajo de él hay una sombra muy buena. Incluso ahí no es una sombra perfecta, puesto que la dispersión de la luz solar por parte de la atmósfera sigue haciendo llegar luz al suelo desde otras direcciones, pero es una sombra oscura y nítida.

Pero si el objeto se aleja del suelo, como un avión cuando despega y se eleva, su tamaño angular va disminuyendo. Al principio, el avión puede tapar el Sol completamente y producir una sombra de gran nitidez en el suelo, pero según se va elevando la cosa cambia. Su sombra, puesto que los rayos son más o menos paralelos, aumenta muy poco a poco –pero aumenta, no es exactamente igual según se eleva– pero lo más importante es que se va haciendo borrosa, pues sus bordes se vuelven penumbra.

Según aumenta la altitud del avión hay más penumbra y menos sombra, hasta que llega un momento, cuando el avión ya no es capaz de tapar el Sol completamente, sin importar dónde estés sobre la superficie terrestre, en el que sólo hay penumbra y no hay sombra. Según el avión sigue ascendiendo, esta penumbra se va haciendo más tenue y sus bordes más difíciles de distinguir, hasta que es imposible percibirla.

De hecho, podemos realizar otra estimación burda para saber cuándo ya no hay sombra propiamente dicha: un Boeing 747 tiene una longitud de unos 70 metros, una envergadura de unos 60 metros y una altura de unos 20 metros. Pongamos que, más o menos, el tamaño del aparato en lo que a tapar el Sol se refiere es, redondeando, de 30 metros (pues aunque lo tape “a lo largo” puede dejar ver parte del Sol “a lo ancho” o “a lo alto”).

La pregunta trigonométrica entonces es, ¿a qué distancia de nosotros un objeto de 30 metros tiene el tamaño angular del Sol? Existen dos maneras de estimarlo. La primera es trigonométrica una vez más:
La distancia es, despejando D de la fórmula de arriba (como si el avión fuera el Sol), con δ = 32′ y d = 30 m,

D = d / 2[tan(δ/2)]

Si introduces esos datos en la calculadora verás que D resulta ser de unos 3 kilómetros.

La segunda manera es hacer una regla de tres: si el Sol y el avión tienen el mismo tamaño angular, la relación entre las distancias respectivas al observador (150 Mkm y D) debe ser proporcional a la relación entre sus tamaños (1.4 Mkm y 30 m). El resultado vuelve a ser, por supuesto, de unos 3 km.

Con lo que, en una primera aproximación, la sombra de un Jumbo como tal deja de existir a unos 3 km de altitud. Sigue habiendo penumbra, y supongo que puede ser posible vislumbrar algo tenue y borroso, pero un poco más arriba deja de ser visible. Puesto que la altura de crucero de un avión comercial es de unos 10 km, excepto en el aterrizaje y despegue (o si miras una nube desde el avión, claro), no hay sombra que valga.

Desde luego, esto es una aproximación burda: para empezar, el avión no puede estar justo encima de tu cabeza y tapar el Sol, pues el Astro Rey está a un mínimo de 23° respecto a la vertical, con lo que los 3 km serían de distancia entre el avión y tú, y la altitud sería algo menor; pero he redondeado tanto que el error (más o menos de un 8%) no es relevante en este caso.

Naturalmente, esta altitud es proporcional al tamaño del avión, de modo que una avioneta con 10 metros de “tamaño eficaz” para tapar el Sol sólo tiene que volar a 1 km de altura para que su sombra deje de existir como tal, sólo es penumbra. Puesto que muchas avionetas no vuelan demasiado alto, me imagino que es más probable ver la sombra de una que la de un avión comercial.

Independientemente de esto, si observas la sombra del avión desde el propio avión es posible que veas otro fenómeno precioso, denominado gloria, que se produce también en otras situaciones pero es de una gran belleza visto desde un avión. La próxima vez que vueles, si puedes ver la sombra del avión, échale un ojo de vez en cuando por si las condiciones son las adecuadas y puedes ver algo como esto:

Gloria avión

Crédito: Wikipedia/GPL.

La gloria es algo similar al arco iris, sólo que con un tamaño angular mucho más pequeño (unos 5°-20°), y se ve especialmente bien cuando el avión sobrevuela nubes. Tres fenómenos ópticos (la refracción, la reflexión y la difracción) están involucrados, cuando los rayos solares se encuentran con minúsculas gotículas, y aún no entendemos perfectamente el proceso físico por el que se forman –sí, a pesar de ser parecido al arco iris–, aunque existen teorías, como la de Mie, que producen modelos matemáticos que las simulan bastante bien.

La gloria, igual que el arco iris, se ve simplemente por la posición del observador respecto al Sol: en la foto de arriba, está alrededor de la sombra porque el centro de la gloria (como el centro del arco iris) se encuentra justo en la posición antisolar –opuesta al Sol– vista desde el observador… ¡y ahí es justo donde está la sombra del avión! Pero son fenómenos totalmente independientes: la gloria no se produce porque el avión esté interfiriendo de algún modo con la luz solar.

A veces se ven alrededor de la sombra de tu cabeza si hay niebla, y es probable que hayas visto alguna a lo largo de tu vida, de una u otra forma. De hecho, en China se llama la luz de Buda, y a veces era considerada una muestra de la iluminación interior de una persona el hecho de que pudiera verse. Como es más fácil ver la tuya que la de los demás, me pregunto si todo el mundo pensaría que ellos eran los iluminados y los demás no.

Un par de glorias más, simplemente por el placer de verlas:

Gloria cabeza

Gloria alrededor de la sombra de una cabeza.

Gloria

Gloria desde el Golden Gate Bridge de San Francisco.

Para saber más:

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