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21 de febrero de 2013

El cubo en 4D, o cómo explicar la cuarta dimensión en un bar

Piensa en un cubo. Seguro que sabes distinguir entre ancho, alto y profundo, que son las tres dimensiones de nuestro mundo 3D. ¿Quieres saber cómo sería el cubo con una dimensión más, que vive en 4D?  Si sigues leyendo descubrirás que es más fácil de lo que pensabas y, quién sabe, quizá te animes a explicarlo en un bar... te aseguro que se puede, porque yo lo he hecho ;-) 


Vamos a empezar con un mundo formado por un solo punto que, aunque no lo sepa, es un cubo en ese mundo 0D. Como debe de ser muy aburrido vivir tan solo, vamos a añadir una dimensión más a su mundo y colocar otro punto igual a su derecha, a distancia 1. Para distinguirlos, al punto original le llamamos 0 y al punto nuevo le llamamos 1.

BlogCubo1D

(Pincha en la imagen para abrir una construcción interactiva).

Ahora 0 y 1 son los vértices de un segmento, formado por todos los puntos entre ellos. Y aunque tampoco lo sabe, este segmento es un cubo en ese mundo 1D.

Y una vez que tenemos el cubo en 1D, podemos añadir una dimensión más y colocar otro segmento igual por encima, a distancia 1. Los dos segmentos tienen vértices 0 y 1, así que para distinguirlos vamos a poner detrás un 0 a los vértices del segmento original (que ahora serán 00 y 10) y pondremos detrás un 1 a los vértices del segmento nuevo (que ahora serán 01 y 11).


BlogCubo2D

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Lo siguiente, claro, es añadir la tercera dimensión y colocar otro cuadrado igual por delante, a distancia 1. Como las pantallas suelen ser 2D, poner este cuadrado por delante haría que no se pudiera distinguir del anterior, así que usaremos el truco habitual y lo pondremos un poco desplazado para que parezca que está delante.

BlogCubo4D

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Como los dos cuadrados tienen vértices 00, 10, 01 y 11, para distinguirlos hemos puesto detrás un 0 a los vértices del cuadrado original (que ahora serán 000, 100, 010 y 110) y un 1 a los vértices del cuadrado nuevo (que ahora serán 001, 101, 011 y 111).

Ahora 000, 100, 010, 110001, 101, 011 y 111 son los vértices de un cubo, formado por todos los cuadrados entre ellos. Y no sólo es un cubo en su mundo 3D, además es famoso.

¡Y ahora es cuando necesitamos una cuarta dimensión! Si has seguido el hilo de lo anterior, te estarás imaginando que necesitamos esa cuarta dimensión para poner un cubo como que el que tenemos en 3D. ¿Qué te parece si usamos como dimensión el tamaño (suena razonable) y el cubo nuevo es más grande que el original? Algo así:

BlogCubo4D

(Pincha en la imagen para abrir una construcción interactiva).

Igual que antes, a los vértices del cubo original les hemos puesto detrás un 0 y a los del cubo nuevo les hemos puesto detrás un 1 (no vamos a escribirlos todos, porque ya serían muchos...) Esos 16 vértices son los vértices del cubo en 4D, que está formado por todos los cubos entre el original y el nuevo.
¡¡¡¡Tacháááánnnn!!!

¿Cómo? ¿Que todavía no lo tienes claro? No te preocupes, vamos a intentar verlo de otra manera.


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Cifras y Teclas

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